Urticária normalmente está relacionada a processos alérgicos. O especialista mais indicado seria o Dermatologista.

É possível, sim, falso negativo, mas é raro, principalmente 4 vezes falso negativo. HIV não possui sintomas específicos. Principalmente na fase aguda, os sintomas são idênticos a várias outras infecções (febre, mal estar, gânglios aumentados, etc...), então pode ser que o que você chama de "sintomas do HIV", seja outra coisa. Procure atendimento médico para orientações, até mesmo para que você e seu parceiro fiquem mais tranquilos.

Os exames falam a favor de COVID-19 em algum momento pregresso. Afirmar que foi nessa ocasião da tosse é difícil sem conhecer o caso.

É preciso conferir se é o HbsAg ou o AntiHbs que está positivo.
Pois se for mesmo o HbsAg provavelmente já era portadora antes de receber a vacina. E sendo portadora algumas medidas devem ser tomadas para proteger o bebê.
Caso seja o AntiHbs isto significa imunidade adquirida.

Deve-se analisar se você tem sintomas ou não. Pode ser apenas colonização. Existem casos específicos com indicação de tratamento de bacteriúria assintomática. Recomendaria um infectologista.